"Безграмотный" или "неграмотный"?

Винни-Пух в затруднениях.

Какое слово использовать в отношении человека, пишущего с ошибками: «безграмотный» или «неграмотный»?

Обратимся к классическому «Толковому словарю русского языка» Ушакова.

БЕЗГРА'МОТНЫЙ, 1. Содержащий много грамматических ошибок, малограмотный. Оканчивающие школу часто подают безграмотные сочинения. || Исполненный грубых ошибок против правил какой-н. области знания, невежественный. Эта брошюра политически безграмотна. 2. Не умеющий читать и писать, неграмотный. 

НЕГРА'МОТНЫЙ, 1. Не умеющий читать и писать. Неграмотный человек. || Малограмотный, пишущий с орфографическими ошибками… 2. Содержащий орфографические ошибки, написанный с ошибками. Неграмотная рукопись. 3. Мало осведомленный в чем-н., малоопытный, неумелый. 4. Выполненный без надлежащего знания дела, неискусный.

Regimental schools impart elementary education to illiterate soldiers. - В полковых школах неграмотные солдаты получают начальное образование.

Толковый словарь русского языка Ожегова и Шведовой почти отождествляет эти понятия:

БЕЗГРА'МОТНЫЙ, -ая, -ое; -тен, -тна. 1. Не умеющий читать и писать, неграмотный (в 1 знач.). Безграмотная старуха. Поставить подпись за безграмотного (сущ.). 2. Делающий или содержащий много грамматических ошибок, малограмотный (в 1 знач.). Б.человек. Б. диктант. Безграмотно (нареч.) писать. 3. Плохо осведомлённый в какой-н. области знания, неграмотный (во 2 знач.). Технически безграмотен кто-н. 4. То же, что неграмотный (в 3 знач.). Б. чертёж.
НЕГРА'МОТНЫЙ, -ая, -ое; -тен, тна. 1. Не умеющий читать и писать, безграмотный (в 1 знач.). Обучение неграмотных (сущ.). 2. Не обладающий нужными знаниями, сведениями в какой-н. области, безграмотный (в 3 знач.). Н. техник. 3. Выполненный с ошибками, без знания дела. Н. чертёж.

С другой стороны, "неграмотность" - это отсутствие каких-либо навыков чтения и письма вообще, слово применимо только к человеку; "безграмотность" - это слабые навыки, наличие многочисленных ошибок, и это слово можно применить как к человеку, так и к плохо выполненному делу.

Нетождественность понятий подтверждается их невзаимозаменяемостью, например, при переводе такого предложения:

The UN has 4 main purposes: .... To help nations work together to improve the lives of poor people, to conquer hunger, disease and illiteracy, and to encourage respect for each other's rights and freedoms...  - Организация Объединенных Наций ставит перед собой четыре цели: … помощь государствам в сотрудничестве, направленном на улучшение условий жизни неимущих, борьбу с голодом, болезнями и неграмотностью, а также поощрение взаимного уважения прав и свобод… 

Источники: Нетлер, Грамотный русский язык в вопросах и ответах, Грамота.ру